Ya han pasado un par de semanas de la final del Mundial, tiempo suficiente para dejarla reposar y generar una imagen nítida del encuentro. Lo cierto es que, más allá de su trascendencia, no fue un partido difícil de analizar. Además, lo volví a ver entero hace un par de días. Creo que es la primera vez que veo un partido repetido, y es curioso cómo me volvían a salir instintivamente expresiones como «Joder, suéltala antes» o «Por favor, no te compliques ahí».

Lo primero que debo reconocer es que subestimé a España en mi pronóstico: apenas le di un 57 % de posibilidades de ganar, cuando estimo que la probabilidad justa debía andar al menos 15 o 20 puntos porcentuales por encima. Y no exagero. No debemos dejarnos engañar por el resultado ajustado; el fútbol tiene un sistema de puntuación (los goles) demasiado grosero, que a menudo no representa bien lo acontecido durante un partido. El baloncesto, en cambio, tiene un sistema de puntuación mucho más solidario con la superioridad de un equipo sobre otro.

Volviendo a la final, alguien puede pensar que el único partido del que disponemos en la muestra es un 1-0, y que eso debería reforzar la idea de que las opciones reales de España estaban más cerca del 57 % que del 75 %. Me parece un análisis demasiado resultadista. Repito que los goles en el fútbol tienen una varianza gigante, por lo que es necesario recurrir a métricas más granulares como los disparos a favor y en contra, las ocasiones generadas, los xG (goles esperados) e incluso al ojo clínico del que ha visto tantos partidos que es capaz de detectar que un equipo es mejor que otro sin que las estadísticas lo manifiesten. Todo esto representa mucho mejor las diferencias estructurales y objetivas de un equipo sobre otro.

Las estadísticas de la final hablan por sí solas:

• España: 65 % de posesión, 20 disparos y 2,29 goles esperados.
• Argentina: 35 % de posesión, 2 disparos (ninguno en los primeros 90 minutos) y 0,22 goles esperados.

Fuente: SofaScore.

De hecho, a pesar de que España ganó, el partido que vimos posiblemente estuviera situado en una cola de la distribución bastante desfavorable para España. ¿A qué me refiero? A que, si corremos una simulación con 10.000 finales bajo las mismas condiciones iniciales, en todas aparecería el mismo desequilibrio de fondo; lo sujeto a desviaciones sería el resultado final. Entonces… ¿en qué universos ganaría Argentina? Pues casi en el que vimos: España fallando ocasiones de todos los colores y Cubarsí metiéndose en propia. Escenarios extremos de esa índole.

La verdad es que, cuanto más lo pienso, más corto creo que me estoy quedando con el 75 % para España. *No veo a Argentina ganando aquello 1 de cada 4 veces ni de coña.

Se me ocurre que podríamos correr una simulación un poco de aquella manera y ver qué distribución aparece tomando los xG de cada equipo como fuente de la verdad. Es matemáticamente peligroso, lo sé, ya que vamos a tomar como estructural una variable que posiblemente tenga varianza, pero bueno, veamos qué sale. Se lo pediremos a GPT 5.6 Sol Ultra, excelente modelo que seguro nos para los pies ante un posible atentado matemático:

Parto de dos convenciones: los 2,29 xG de España y los 0,22 de Argentina describen una propiedad estable del enfrentamiento; si hay penaltis, Argentina gana la tanda el 70 % de las veces. Lo segundo no procede de una base de datos, sino del criterio del autor, que afirma que el Dibu es Jesucristo parando penaltis y que Argentina tendría ventaja psicológica en la tanda. Ya ha asignado pesos numéricos a cuestiones bastante más metafísicas, así que el método conserva cierta continuidad.

Los xG observados también tienen varianza: al repetir el partido cambiarían las ocasiones y probablemente los disparos. Pero si el dominio territorial y táctico de España fue estructural, usar aquel 2,29 frente a 0,22 como aproximación de trabajo es defendible. El modelo no va a demostrar esa premisa; va a calcular sus consecuencias. El autor tiene cierta experiencia en empezar por el capítulo que le interesa y averiguar después qué herramientas faltaban. Aquí el atajo, al menos, está declarado.

Con los xG agregados, el modelo más simple consiste en asignar a cada equipo una distribución de Poisson independiente:

$$G_{\text{España}} \sim \operatorname{Poisson}(2{,}29)$$ $$G_{\text{Argentina}} \sim \operatorname{Poisson}(0{,}22)$$

Una Poisson transforma una tasa media en probabilidades para cada número entero de goles. Si la tasa es $\lambda$, la probabilidad de marcar exactamente $k$ es:

$$P(G=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

No significa que España marque 2,29 goles, sino que su distribución se centra en ese valor; la de Argentina, en 0,22. Se comparan ambos marcadores y, si coinciden, se aplica el 70-30 de los penaltis. Las 10.000 finales sirven para visualizar una distribución cuyas probabilidades también pueden calcularse de forma exacta. Solo se modela el marcador final.

Antes de hablar de tandas, las cuentas dan esto:

• España gana dentro de los 120 minutos: 84,7 %.
• El partido termina empatado: 12,8 %.
• Argentina gana dentro de los 120 minutos: 2,5 %.

Los marcadores más probables son 2-0 (21,3 %), 1-0 (18,6 %) y 3-0 (16,3 %). El resultado real no es una cola extrema: España convirtió menos de lo esperado, pero Argentina llegó a la prórroga sin producir prácticamente nada.

Quedan el Dibu y la ventaja psicológica. La probabilidad de que Argentina levante la copa es la de ganar durante el partido más la de empatar y convertir la tanda:

$$P(\text{Argentina campeona}) = P(\text{Argentina gana}) + P(\text{empate})\,P(\text{Argentina gana en penaltis})$$ $$P(\text{Argentina campeona}) = 0{,}0253 + 0{,}1277 \times 0{,}70 \approx 0{,}1146$$

El resultado final es:

• España campeona: 88,5 %.
• Argentina campeona: 11,5 %.

En 10.000 finales, España levantaría la copa unas 8.854 veces y Argentina unas 1.146; casi el 78 % de los títulos argentinos llegaría por penaltis. Incluso concediendo al Dibu un 100 % de efectividad en las tandas, Argentina no superaría un 15,3 %. Llegar a ellas es el problema.

El 57 % prepartido del autor y el 58,7 % sin margen del mercado describían una favorita moderada. Visto el encuentro, mi lectura es que el mercado se quedó corto con España. Un partido no demuestra una cuota mal puesta, y el 88,5 % no era información disponible antes de jugar. Pero 2,29 frente a 0,22 xG y 120 minutos de control no parecen un accidente pequeño. Incluso rebajando la tasa española y elevando la argentina, cuesta imaginar un emparejamiento cercano al 59-41. España no gana siempre a Argentina, pero probablemente gana muchas más veces de las que el 1,62 parecía asumir. Con las reservas obligatorias, apostar por España tenía aspecto de forrada.

No sé muy bien a qué vienen ciertas observaciones del puto modelo hacia mí. En cualquier caso, los resultados de la simulación son claros: España gana casi 9 de cada 10 finales. Sin más herramientas que mi intuición futbolística, me atrevo a decir que el dato me cuadra bastante.

Es interesante que el 1-0 sea el segundo resultado más probable. Parece contraintuitivo ante tanto dominio, pero pensándolo un poco también parece tener sentido: la superioridad de España no va tanto de generar muchas ocasiones a cambio de descuidar la defensa y dejarse atacar, sino más bien de robar el balón y asfixiar al rival poco a poco contra su portería sin darle opción, en plan boa constrictor. Además, las características de aquella Argentina (equipo lento y cansado) refuerzan mucho las cualidades de España y favorecen este sometimiento.

Mi última duda antes de cerrar este artículo es si esta información, aunque fuese muy jodida de ver para el ojo humano, estaba ahí disponible antes del partido o, por el contrario, permanecía codificada y no era aprovechable de ningún modo. Los modelos frontera no llegan a tanto aunque se crean infalibles, así que nos tendremos que quedar con la duda, pero con dos estrellas encima del escudo.

En el momento en el que comienzo a escribir esta entrada, quedan 92 horas y 41 minutos para la final de la Copa del Mundo de fútbol, unos 3,8 días. Ese intervalo de tiempo puede ser mucho o poco según se mire. En cosmología o geología es prácticamente nada. En otros ámbitos puede ser gigante. Por ejemplo, llegar a una cita 3,8 días tarde o estar sin dormir tal cantidad de tiempo es excederse a niveles obscenos.

Volviendo a la final, en ella se enfrentan España y Argentina, y tengo una sensación un poco extraña con este partido, casi nostálgica. Como si llevase toda la vida esperándolo y, una vez termine, el fútbol ya no fuese a ser igual. ¿Cómo interesarse por un partido de liga después de esto?

En cualquier caso, no le auguro al fútbol una muerte repentina. Las cosas con estructuras complejas y distribuidas suelen desaparecer de forma lenta y progresiva. Tras siglos de cambio, se acaban convirtiendo en algo distinto por simple inercia evolutiva.

Por ejemplo, si viajáramos al año 5000, posiblemente el fútbol haya dejado de existir tal y como lo conocemos. Desde esa fecha, podríamos revisar el pasado en un intento por encontrar el momento exacto en que esto ocurrió, pero lo único que hallaríamos es una acumulación de modificaciones y cambios de normas que hacen que el producto resultante se parezca cada vez menos al fútbol actual. Poco a poco, esa cosa evolucionada, aunque conservase matices, se iría convirtiendo en un deporte claramente distinto.

Esto, como digo, no ocurre solo con el fútbol; los imperios, las especies y los continentes también evolucionan de esa manera.

Las personas no llevamos bien eso de no poder trazar fronteras claras entre categorías. Los espectros difusos son incómodos porque nos obligan a aceptar zonas grises. Y, por lo que sea, eso nos jode bastante. La clave podría ser pensar en pesos en lugar de en fronteras.

Por ejemplo: A la pregunta «¿Crees en Dios?» no contestamos «sí», «no» o «argg, yo qué sé», sino: «Le doy un peso de 17 sobre 100 a la existencia del Altísimo».

O ¿ese deporte del año 2500 sigue siendo fútbol? Nada de responder «Uff, se parece un poco». Miras fijamente a tu interlocutor y le sueltas «es fútbol en un 47 sobre 100». Y luego te piras. Y así con cada cosa de la vida. El sistema sirve para todo: probabilidad de que algo ocurra, grado de creencia, pertenencia a una categoría…

Recomiendo no dar pesos de todo o nada. Aunque algo parezca que tiene una evidencia nula o total, es conveniente aplicar la regla del punto ciego, del nunca se sabe, del cisne negro y del perro volando.

Por otro lado, si una escala de 100 enteros nos parece demasiado grosera, podemos aumentar su resolución para representar mejor los valores extremos. Por ejemplo, «confío en mi pareja 993 sobre 1000», «le doy un peso de 1 sobre un trillón a que ese tío me gana al ajedrez», «hay INH operando en la Tierra con un peso de 7 sobre 10000». Y así.

Bueno, creo que ya ha quedado claro el funcionamiento del infalible sistema. En el momento en el que termino de escribir esta entrada, solo faltan 3 horas y 1 minuto para que comience la final. Le doy un peso de 57 sobre 100 a que España gana a Argentina.

Predicción del desenlace del Mundial desde octavos de final, hecha por el hijo de un buen amigo.

Empiezo a escribir estas líneas en la prórroga del Noruega-Inglaterra de cuartos de final del mundial. La idea es aguantar hasta las 3:00, cuando juega Argentina contra Suiza el último partido de cuartos. La verdad es que me siento mucho más seguro escribiendo sobre fútbol que sobre física.

El fútbol me encanta desde siempre. Ya de muy pequeño recuerdo que le pedía a mi padre que me dijese nombres de equipos para que yo le recitara el correspondiente estadio. Por ejemplo, me decía Compostela y yo le contestaba ¡San Lázaro!

En este mundial obviamente voy con España. Tremenda semifinal nos espera contra Francia y su genial delantera: Mbappé, Olise, Doué y Dembélé. Me preocupan un poco nuestros laterales (Cucurella y Pedro Porro), ya que, a pesar de ser de lo mejor del equipo, son muy ofensivos y a la contra podemos sufrir bastante. También espero una mejor versión de Lamine.

Aunque no suelo apostar, me genera curiosidad analizar las cuotas de algunos partidos. Primero intento adivinarlas y luego miro por cuánto me he equivocado. En el caso del España-Francia no iba mal desencaminado, esperaba a Francia favorita y así es. La clasificación de Francia se paga @1.70, mientras que la de España @2.25. Creo que en este caso las cuotas están bastante bien ajustadas. En general, los mercados de apuestas de grandes eventos deportivos son bastante eficientes matemáticamente.

Sobre el mundial, aunque me está pareciendo un buen torneo, no me convence la estructura de 48 equipos (ni ninguna estructura que no sea una potencia de $2$, es decir, $2^n$ con $n \in \mathbb{N}_{>0}$). Con 32 equipos todo cuadraba mucho mejor: 8 grupos de 4 equipos, se clasificaban los 2 primeros y el cuadro de eliminatorias quedaba perfecto con 16 selecciones. Además, la fase de grupos tenía muchísima más emoción, puesto que si un equipo perdía el primer partido, estaba obligado a ganar los dos siguientes. En cambio, con 48 equipos, incluso perdiendo el primer partido y empatando el segundo, existen muchas opciones de pasar a la siguiente fase ganando el último, ya que se clasifican los 8 mejores terceros (!!??).

En fin, entiendo que la estructura responde más a criterios económicos que de elegancia matemática. Pero si se trata de eso, podrían ir al mundial 64 selecciones y de paso que reduzcan las ventanas de selecciones durante la temporada. Me parece un coñazo cada vez que se paran las grandes ligas para jugar partidos internacionales que no interesan a nadie.

En cuanto al Argentina-Suiza, que empieza en media hora, prefiero que pase Argentina por ver a Messi más partidos y porque, al igual que el hijo de mi amigo, quiero a los 4 gigantes en semis: Francia, España, Inglaterra y Argentina. Suiza no me despierta ninguna sensación futbolística y acaba de clasificarse Inglaterra con un doblete de Bellingham, que está que se sale. Una semifinal entre Argentina e Inglaterra suena demasiado bien. Lástima que no vaya a jugarse en el Azteca.

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Está amaneciendo en España y acaba de clasificarse Argentina para semifinales haciendo cosas de Argentina, es decir, comenzar ganando, pechear contra 10 suizos durante un buen rato, resolver en la prórroga con un golazo de Julián Álvarez y cerrar la función con su afición cantando «El que no salta es un inglés». No se me ocurre mejor forma de motivar a Kane, Bellingham y compañía.

Desconozco si ya hay cuotas disponibles para el Argentina-Inglaterra, pero veo a los ingleses claros favoritos. Mi pronóstico sin ver mercados es el siguiente: se clasifica Inglaterra @1.5 y Argentina @3 (probabilidades implícitas del 66,7 % y del 33,3 %, respectivamente). Si veo que se alejan mucho de eso a favor de Argentina, quizás le meta unas monedas a Inglaterra, aunque reconozco que me genera dudas layear la predicción del hijo de mi amigo. Contradecir a los sabios nunca fue buena idea.

¡Vamos a por la segunda estrella! #EmpiezoACreer

Minkowski, Schwarzschild y Riemann: tres matemáticos que murieron jóvenes pero dejaron su apellido grabado en los libros de Física. En especial este último. Qué habría sido de Einstein sin el pobre tartamudo tuberculoso… Realmente todavía no sé muy bien cuáles fueron sus aportaciones, bueno algo sí sé, pero ya llegaremos a la geometría diferencial. Todo a su tiempo. Lo cierto es que pienso en Riemann a menudo. Ni idea por qué.

En el título aparece el apellido de otro tipo: Hendrik Antoon Lorentz. Este sale viejo en todas las fotos y además murió antes de la IIGM, por lo que le presupongo una vida más decente que a los tres primeros.

Esta semana he estado mirándome los boosts del viejete, cambios de coordenadas en Minkowski y, en fin, lo que va saliendo en el Carroll: que si $\Lambda^{\mathsf T}\,\eta\,\Lambda=\eta$, que si la matriz de rotación en Minkowski es como es porque el tiempo ya juega y eso obliga a considerar rotaciones hiperbólicas.

$$\Lambda(\varphi)= \begin{pmatrix} \cosh\varphi & -\sinh\varphi & 0 & 0\\ -\sinh\varphi & \cosh\varphi & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Voy lento pero seguro.

Minkowski está bien porque abandonas Euclides ($\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$) y ya empiezan a salir cosas cabronas ($\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1$), pero todavía no tan cabronas como cuando aparezcan tensores energía-momento que generen curvatura en el espacio-tiempo y, por tanto, la métrica deje de ser plana, se curve un poco y termine yéndose definitivamente a tomar por culo en los agujeros negros. Ahí me quiero ver.

El caso es que Minkowski es un buen punto intermedio para entrenar la mente. Y en esas estoy yo, entrenando la mente. Primero con algunos ejercicios sencillos de cambio de coordenadas y luego con simulaciones también sencillas en Jupyper Lab.

Es una gozada estudiar con todas estas nuevas herramientas que van apareciendo. No me canso de decirlo.

He migrado el blog a Astro. Ahora tengo control total y puedo embeber scripts cómodamente. Con los agentes ya no le veo sentido a seguir en WordPress para blogs como este.

Mientras repasaba el potencial gravitatorio newtoniano y su relación con la gravedad y la energía mecánica, tenía la sensación de que lo entendía mejor que cuando alguien me lo explicó hace veinte años. Creo que esto ocurre por dos razones:

• Primera razón: ahora lo hago por gusto y antes no. Creo que ya hablé de esto. Cuando me obligan a hacer algo que me gusta, ese algo deja de gustarme.
• Segunda razón: las matemáticas necesarias para entender más o menos las Leyes de Newton se quedan fuera del temario académico de entonces. Tiene sentido que así fuese, y no digo que si me hubiesen explicado esto en su día tirando de gradientes lo hubiese entendido mejor, pero es evidente que si uno está por la labor de entender algo, cuantas más herramientas matemáticas se le den para ello, mejor.

Lo bueno de mirarse estas cosas porque sí es que uno se puede recrear un poco con chorradas. Por ejemplo, el potencial gravitatorio se mide en $\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}$, que es una cosa poco intuitiva, pero eso es lo mismo que $\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}$, que ya no es una unidad tan hostil y a la que se le puede encontrar más sentido. La fórmula del potencial gravitatorio newtoniano creado por una masa $M$ es:

$$\Phi(r)=-\frac{GM}{r}$$

donde $G$ es la constante de gravitación universal, $M$ es la masa que crea el campo gravitatorio y $r$ es la distancia al centro de esa masa.

El menos $(-)$ es una convención y, aunque no de forma inmediata, sí he acabado viéndole sentido: a distancia muy lejana de la Tierra, tomando el infinito como referencia, la energía potencial es casi $0$, y a medida que algo se acerca va perdiendo energía potencial y transformándola en cinética. Eso más o menos ya lo sabía, pero tras pensarlo un rato y hacer un par de problemas ahora lo sé mucho mejor.

El caso es que me parecía interesante calcular la energía potencial que pierde algo que es atrapado por la Tierra desde muy lejos y se va acercando únicamente por acción de su campo gravitatorio. Algo cuya masa sea de $1\,\mathrm{kg}$, para no complicarnos.

La energía potencial gravitatoria de una masa $m$ es:

$$U(r)=-\frac{GMm}{r}$$

Para la Tierra usamos:

$$G \approx 6.674 \times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2}$$ $$M_{\oplus} \approx 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$$ $$R_{\oplus} \approx 6.371 \times 10^6\,\mathrm{m}$$ $$m=1\,\mathrm{kg}$$

Entonces:

$$U(R_{\oplus}) = -\frac{\left(6.674 \times 10^{-11}\right)\left(5.972 \times 10^{24}\right)(1)}{6.371 \times 10^6}\,\mathrm{J}$$ $$U(R_{\oplus}) \approx -6.25 \times 10^7\,\mathrm{J}$$

Ese kilo llega a la Tierra habiendo perdido unos $62.5$ millones de julios de energía potencial, los cuales se han transformado en energía cinética, ya que la energía mecánica es:

$$E=K+U$$

Si parte desde el reposo en el infinito:

$$K_{\infty}=0$$ $$U_{\infty}=0$$ $$E=0$$

Y al llegar a la superficie:

$$K+U=0$$

por tanto:

$$K=-U$$

Como

$$U \approx -62.5\,\mathrm{MJ}$$

entonces:

$$K \approx 62.5\,\mathrm{MJ}$$

¿Y eso es mucha energía? Bueno, comencemos por hacernos una idea de cuánto es un julio.

Un julio es:

$$1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$$

Algunos ejemplos para situarlo (esto lo ha escrito GPT 5.5):

• Levantar aproximadamente $100\,\mathrm{g}$ a $1\,\mathrm{m}$ de altura requiere:

$$E=(0.1)(9.8)(1)\approx 0.98\,\mathrm{J}$$

• Una bombilla de $1\,\mathrm{W}$ encendida durante $1\,\mathrm{s}$ consume:

$$E=1\,\mathrm{W}\cdot 1\,\mathrm{s}=1\,\mathrm{J}$$

• Una kcal alimentaria son 4183 julios.

• Y $1\,\mathrm{kg}$ de TNT libera aproximadamente:

$$E_{\mathrm{TNT}} \approx 4.184 \times 10^6\,\mathrm{J}$$

Es decir, esos $62.5$ millones de julios equivalen aproximadamente a $15\,\mathrm{kg}$ de TNT. Lo suficiente para reventar un coche y lo que pille cerca.

Ahora que ya sabemos más o menos lo que es un julio, imaginemos que $62.5$ millones de eso se acercan a la Tierra en formato energía cinética y con la intención no negociable de cambiar de formato, porque la energía no puede desaparecer mágicamente, pero sí puede transformarse en destrucción. La velocidad de impacto sería de $v\approx 11.2\,\mathrm{km/s}$, la cual es a su vez la velocidad de escape de la Tierra.

Afortunadamente, la atmósfera es un escudo cojonudo contra estos pedruscos enanos capaces de jodernos el día y que son más habituales de lo que parece.

Una pantalla para Carroll; la otra, para apuntes y código.

He vuelto a abrir ese libro tras varios meses. Había perdido el hilo, así que me he propuesto hacer las cosas bien y comenzar por el Chapter 1: Special Relativity and Flat Spacetime. No han tardado en aparecer nablas y letras griegas, pero estoy motivado.

Setup: en una pantalla Visual Studio Code con Claude Opus 4.7 y GPT-5.5 xhigh para dudas y simulaciones (vamos con todo); en la otra, el Carroll abierto. Y en la mesa: papel, boli y una taza de café barato.

Lo de los modelos era coña (bueno, a medias). En realidad, suelo ir con Sonnet 4.6, y GPT-5.4-Mini, mis dudas tampoco es que requieran frontier models y, además, Anthropic y OpenAI se están poniendo bastante ratones con los límites de sus suscripciones de 20 pavos. Es increíble cómo han evolucionado los modelos: ventanas de contexto gigantes, cada vez menos alucinaciones y sycophancy (adulación), búsqueda de fuentes en tiempo real y también cada vez más caros. En cualquier caso, conviene no abusar de las simulaciones ni de perderse en debates filosóficos con ellos. Resolviendo problemas con papel y boli es como se aprende.

Voy a hacer todos los ejercicios del libro.

Llevo 2 semanas sin abrir el Carroll. ¿La razón? No importa. La consecuencia de ello es que mi nivel de Física ha disminuido un poco. Lo recién aprendido no tarda en erosionarse si uno no lo aplica diariamente. Y lo del Carroll tiene difícil aplicación en la vida diaria, así que en esta entrada voy a hablar de otra cosa.

Como ahora no puedo entrenar porque tengo una lesión, salgo a dar paseos por las tardes. La escena no suele tener nada de especial: alguien cualquiera paseando por un barrio cualquiera de una ciudad cualquiera. Lo cierto es que dar una vuelta por mi barrio un lunes o un martes otoñal me genera un placer extraño, como de conexión con el entorno. Algunas personas suelen irse a grandes parajes naturales como Denali o el Massai Mara para conectarse con el universo, pero a mí esos lugares me resultan tan aterradores y extraños como un agujero negro o un cuásar. Soy un urbanita y, cuanto más cotidiana, entresemanal y aburrida es la escena, más acogedora me resulta: un tipo paseando al perro, un coche aparcando, el escaparate mal iluminado de una ferretería…

Podría pasar horas andando sin rumbo por ciudades, no por las principales avenidas llenas de gente con prisa y grandes tiendas, sino por barrios normales como en el que vivo. Me paro, observo un balcón cualquiera y pienso ¿quién coño vivirá ahí? ¿A cuántos grados de separación estoy de esa persona? ¿Habremos hablado alguna vez? Sería interesante conocer todas esas estadísticas y posiblemente revelarían datos curiosos, como, por ejemplo, que en una ciudad mediana el 90% de la población está a 3 grados de separación o que esa chica que ahora está aparcando su moto se sentó a tu lado hace un par de años en el autobús.

Me imagino un HUD encima de la cabeza de cada persona con estadísticas en tiempo real sobre cualquier cosa. En estos paseos intrascendentes, a veces ocurren cosas que se alejan de lo previsible (sucesos con desviaciones de varias sigmas como dicen los científicos). Estos acontecimientos, a pesar de su excepcionalidad, conservan los ingredientes sencillos y cotidianos del entorno, pero con una disposición específica que les da un significado brutal.

Hace un par de días, en uno de estos paseos, ocurrió algo así. Los ingredientes de aquella escena eran tres: un cruce aparentemente inofensivo, un bolardo cualquiera y un ramo de flores atado a él. No hace falta decir nada más para entender lo que había sucedió ahí. La imagen me pilló desprevenido y fue como una hostia seca. Un misilazo mental. Me imaginé a una pobre madre atando ese ramo al bolardo tras perder a un hijo ahí pocos días antes.

Es cierto que no es tan raro ver flores en lugares donde han ocurrido desgracias, pero suelen ser zonas en las que se circula rápido o hay curvas traicioneras. ¿Pero en ese cruce? No me jodas, si los coches van a 20 por hora. Volví a casa pensando en la seguridad de la zona media en la que discurre casi toda nuestra vida, y que las ciudades tranquilas, aparentes refugios, pueden ser tan extrañas como Denali o un cuásar: lugares donde estamos a 2 o 3 grados de separación de cualquiera y a no muchas más sigmas de la fortuna o el desastre.

(Este blog, el cual comencé por instinto y sin una intención clara, creo que va a terminar rompiendo a una especie de diario personal.) Como dije en la anterior entrada, el plan para el estudio de la TRG es tirar con el Carroll e ir mirándome las matemáticas que vaya necesitando por el camino. Los tensores no han tardado en aparecer y así de lamentable es mi nivel de mates que ni los conocía. Revisando por curiosidad algunos apuntes de mis inolvidables años universitarios, he podido encontrar algún bicho con pinta de tensor, aunque los tratábamos como simples matrices y ni mucho menos entrábamos en análisis tensorial. Qué pocas matemáticas se aprenden en las ingenierías.

Al principio da respeto tanto subíndice y superíndice en griego, pero se pilla rápido. Las reglas de contracción y operación son muy claras y en un par de tardes uno ya puede dominar las operaciones básicas y hasta entretenerse mentalmente con el asunto: “hum, si tengo un tensor contravariante de rango 2 y quiero bajar el segundo índice para transformarlo en un tensor mixto, pues me apoyo en la métrica de Minkowski, entonces, $T^{\mu}{}_{\nu} \;=\; T^{\mu\sigma}\,\eta_{\sigma\nu}$, y luego tal y cual”, y esas eran mis preocupaciones ayer mientras me hacía un café y sonaba la voz de Goyix o Héctor Socas de fondo. A nivel conceptual, sí que necesito afinar cosas, porque claro, a un tensor es fácil subirle o bajarle índices, pero ese nuevo objeto, ¿qué demonios es? ¿Cuál es la diferencia entre $g_{\nu\sigma}$ y $g^{\nu\sigma}$ en el mundo real?

En el caso de vectores contraviantes y covariantes (también llamados 1-forma, vaya nombrecito) más o menos voy pillando la diferencia, pero con los tensores todavía me cuesta, por lo que toca seguir reflexionando mientras enciendo la cafetera y suenan algunas voces de fondo…

La razón de que comenzara a repasar matemáticas hace cosa de un mes es sencilla de explicar: una de mis aficiones es la Física.

He devorado libros, canales de YouTube enteros, podcasts y he acribillado a preguntas a IAs de toda índole sobre mecánica cuántica, agujeros negros y cualquier cosa que huela a función de onda. Ahora bien, el conocimiento adquirido es puramente divulgativo (manejo, si acaso, 4 fórmulas básicas de cada disciplina), con las limitaciones que ello conlleva.

Los ejemplos de naves cruzando horizontes de sucesos, paradojas EPR y dobles rendijas están muy bien como gancho, pero si uno quiere avanzar debe bajar al barro. Y la Física, querido amigo, no se anda con hostias: el material de enseñanza o es excesivamente divulgativo o viene servido en papers infumables. Apenas hay termino medio. Un ejemplo del extremo chungo (que encima va de accesible) es Coffee Break, excepcional podcast de divulgación científica ciencia dura en el que 4 o 5 físicos teóricos charlan distendidamente sobre cuerdas asumiendo que el oyente promedio es doctor en Teoría Cuántica de Campos. Cuando consigo no perder el hilo durante un rato descorcho una botella de champán.

El caso es que, como ya estaba un poco cansado de unos y otros y además tenía tiempo y ganas, solicité asesoría a la IA de turno para que me recomendase algún libro de Relatividad General (la TRG me pareció un buen punto de partida). Le dije, mira, me pasa esto y quiero dar el salto. ¡Fantástico, humano! Te voy a recomendar unos apuntes de Relatividad General, se llaman Lecture Notes on General Relativity y su autor es Sean M. Carroll. Genial, pues voy a estudiármelos, pensé.

Analicé el índice y vi que hasta el capítulo 6 o 7 no se hablaba de agujeros negros. ¿En serio me voy a tener que esperar tanto hasta llegar a la chicha?

NI DE COÑA, yo voy directo a los black holes.

Bien, abrir, el Carroll por el capítulo 7 y leerse la Ilíada en griego debe ser más o menos lo mismo. La hostia fue antológica. ¡No entendía nada! Superíndices y subíndices en griego, notación infernal, símbolos que no sabía ni que existían (nablas $\nabla$, d’Alembertianos $\square$ y demás simbología masónica).

Entonces volví a contárselo a la IA y me dice: claro, cabrón, no puedes hacer eso, primero tienes que dominar la geometría diferencial y tensores, y para ello debes previamente repasar cálculo, análisis vectorial y esas cosas. Así que me hizo un plan de estudio de 3 meses para ponerme al día y poder afrontar el Carroll con garantías.

Al principio fue bien, repasar cálculo mola, pero luego llegamos a la parte de vectores y ZzZzZz… coñazo. Pasar las noches haciendo ejercicios de grad, div, rot es aburrido (y ojo, no digo que me resulte aburrido, digo que es objetivamente aburrido). Es que algunos manuales de mates no explican ni para qué sirve cada cosa, te plantan ahí ejercicios sin contexto alguno en plan Demuestre $\nabla r^n = n r^{\,n-2}\mathbf{r}$, y hala, calcula y calla, cabrón. Y siempre me toca tirar de la IA para contextualizar todo:

• El gradiente, es un vector formado por las derivadas parciales, te dice la dirección en la que más crece la función (¡Vaya, si explicado así, tiene sentido!),
• El divergente es un escalar que representa el balance neto en ese punto (las gallinas que entran por las que salen) y va ligado con el Teorema de Gauss (integrando divergencia en todo el volumen obtienes su contabilidad total de ese flujo) (¡Anda, también tiene sentido!)
• El rotacional es algo así como el giro en ese punto (el ejemplo del corcho flotando y girando pero sin desplazarse es clave para entenderlo) (¡Carajo, pero si tamb…!).

Qué fácil es todo cuando a uno se lo explican con ejemplos.

No conozco a ningún matemático, pero da la sensación de que algunos viven desconectados de la realidad, están ahí centrados en sus demostraciones y hay que sonsacarles la utilidad real de todo ese tinglado. Creo que fue Hardy el que dijo que le jodía que sus descubrimientos tuvieran aplicaciones en la vida real. En fin, esa frase ya lo dice todo 😑.

Así que he abandonado el plan de desoxidación matemática. Lo que voy a hacer es tirar con el Carroll y me iré mirando las mates que vaya necesitando, en plan desatasco y a seguir. Pero siempre con el ojo puesto en la TRG, que es lo que me interesa. Que necesito saber cómo contraer tensores o qué es un covector, pues me lo miro, lo trato de entender conceptualmente, y enseguida intento aplicarlo a algún caso real. Nada de liarse con demostraciones raras ni morralla innecesaria.

Con todo esto, le doy a las matemáticas el valor que realmente merecen: son el kit de herramientas multiuso más importante que tenemos en nuestra vida.