Mientras repasaba el potencial gravitatorio newtoniano y su relación con la gravedad y la energía mecánica, tenía la sensación de que lo entendía mejor que cuando alguien me lo explicó hace veinte años. Creo que esto ocurre por dos razones:

  • Primera razón: ahora lo hago por gusto y antes no. Creo que ya hablé de esto. Cuando me obligan a hacer algo que me gusta, ese algo deja de gustarme.
  • Segunda razón: las matemáticas necesarias para entender más o menos las Leyes de Newton se quedan fuera del temario académico de entonces. Tiene sentido que así fuese, y no digo que si me hubiesen explicado esto en su día tirando de gradientes lo hubiese entendido mejor, pero es evidente que si uno está por la labor de entender algo, cuantas más herramientas matemáticas se le den para ello, mejor.

Lo bueno de mirarse estas cosas porque sí es que uno se puede recrear un poco con chorradas. Por ejemplo, el potencial gravitatorio se mide en m2s2\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}, que es una cosa poco intuitiva, pero eso es lo mismo que Jkg\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}, que ya no es una unidad tan hostil y a la que se le puede encontrar más sentido. La fórmula del potencial gravitatorio newtoniano creado por una masa MM es:

Φ(r)=−GMr\Phi(r)=-\frac{GM}{r}

donde GG es la constante de gravitación universal, MM es la masa que crea el campo gravitatorio y rr es la distancia al centro de esa masa.

El menos (−)(-) es una convención y, aunque no de forma inmediata, sí he acabado viéndole sentido: a distancia muy lejana de la Tierra, tomando el infinito como referencia, la energía potencial es casi 00, y a medida que algo se acerca va perdiendo energía potencial y transformándola en cinética. Eso más o menos ya lo sabía, pero tras pensarlo un rato y hacer un par de problemas ahora lo sé mucho mejor.

El caso es que me parecía interesante calcular la energía potencial que pierde algo que es atrapado por la Tierra desde muy lejos y se va acercando únicamente por acción de su campo gravitatorio. Algo cuya masa sea de 1 kg1\,\mathrm{kg}, para no complicarnos.

La energía potencial gravitatoria de una masa mm es:

U(r)=−GMmrU(r)=-\frac{GMm}{r}

Para la Tierra usamos:

G≈6.674×10−11 N m2kg2G \approx 6.674 \times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2} M⊕≈5.972×1024 kgM_{\oplus} \approx 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg} R⊕≈6.371×106 mR_{\oplus} \approx 6.371 \times 10^6\,\mathrm{m} m=1 kgm=1\,\mathrm{kg}

Entonces:

U(R⊕)=−(6.674×10−11)(5.972×1024)(1)6.371×106 JU(R_{\oplus}) = -\frac{\left(6.674 \times 10^{-11}\right)\left(5.972 \times 10^{24}\right)(1)}{6.371 \times 10^6}\,\mathrm{J} U(R⊕)≈−6.25×107 JU(R_{\oplus}) \approx -6.25 \times 10^7\,\mathrm{J}

Ese kilo llega a la Tierra habiendo perdido unos 62.562.5 millones de julios de energía potencial, los cuales se han transformado en energía cinética, ya que la energía mecánica es:

E=K+UE=K+U

Si parte desde el reposo en el infinito:

K∞=0K_{\infty}=0 U∞=0U_{\infty}=0 E=0E=0

Y al llegar a la superficie:

K+U=0K+U=0

por tanto:

K=−UK=-U

Como

U≈−62.5 MJU \approx -62.5\,\mathrm{MJ}

entonces:

K≈62.5 MJK \approx 62.5\,\mathrm{MJ}

¿Y eso es mucha energía? Bueno, comencemos por hacernos una idea de cuánto es un julio.

Un julio es:

1 J=1 N m1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}

Algunos ejemplos para situarlo (esto lo ha escrito GPT 5.5):

  • Levantar aproximadamente 100 g100\,\mathrm{g} a 1 m1\,\mathrm{m} de altura requiere:
E=(0.1)(9.8)(1)≈0.98 J E=(0.1)(9.8)(1)\approx 0.98\,\mathrm{J}
  • Una bombilla de 1 W1\,\mathrm{W} encendida durante 1 s1\,\mathrm{s} consume:
E=1 W⋅1 s=1 J E=1\,\mathrm{W}\cdot 1\,\mathrm{s}=1\,\mathrm{J}

  • Una kcal alimentaria son 4183 julios.

  • Y 1 kg1\,\mathrm{kg} de TNT libera aproximadamente:

ETNT≈4.184×106 J E_{\mathrm{TNT}} \approx 4.184 \times 10^6\,\mathrm{J}

Es decir, esos 62.562.5 millones de julios equivalen aproximadamente a 15 kg15\,\mathrm{kg} de TNT. Lo suficiente para reventar un coche y lo que pille cerca.

Ahora que ya sabemos más o menos lo que es un julio, imaginemos que 62.562.5 millones de eso se acercan a la Tierra en formato energía cinética y con la intención no negociable de cambiar de formato, porque la energía no puede desaparecer mágicamente, pero sí puede transformarse en destrucción. La velocidad de impacto sería de v≈11.2 km/sv\approx 11.2\,\mathrm{km/s}, la cual es a su vez la velocidad de escape de la Tierra.

Afortunadamente, la atmósfera es un escudo cojonudo contra estos pedruscos enanos capaces de jodernos el día y que son más habituales de lo que parece.