Desoxidación matemática I: derivación implícita
¿Qué hace un tipo más cerca de los 40 que de los 30 sin trabajo estable desempolvando apuntes de matemáticas en una tórrida tarde de agosto? ¿Con qué propósito? Bueno, eso da para otra entrada (prometo hacerla pronto). El caso es que aquí me hallo, entre tomos de la serie Schaum y mi profesor particular GPT5, afilando la navaja suiza.
Después de hacer unas cuantas derivadas implícitas por amor al arte (sé que son matemáticas básicas pero la navaja estaba demasiado oxidada). Voy a ordenar algunos conceptos en voz alta. No voy a dejar nada sin atar. NADA. Cualquier duda, por muy tonta que sea, se reflexiona y se resuelve. Luego verifico que todo lo tengo atado escribiéndolo en este blog con mis palabras, intentando no destrozar demasiado los formalismos matemáticos (no prometo nada).
¿Qué es una función implícita?
Una función donde las variables están mezcladas (como todo el mundo sabe, por convención estas variables suelen ser \(x\) e \(y\)).
Un ejemplo de función implícita es:
\[ x + y = 1 \]
Perfecto, pues despejo la variable \(y\) para obtener la función explícita:
\[ y = 1 – x \quad \Rightarrow \quad f(x) = 1 – x \]
No tan rápido, forastero. Ese ejemplo es muy sencillo, pero en las funciones implícitas no siempre se puede despejar la variable dependiente (de hecho, casi nunca).
Un ejemplo más cabrón sería:
\[ x^2 + y^2 + \sin(xy) = 1 \]
Ahí despejar \(y\) ya no se puede. ¿Entonces cómo demonios se deriva eso?
Derivada implícita paso a paso
Las \(x\) se derivan como siempre, y donde pone \(y\) lo tratamos como si pusiera “cosas con \(x\)”,
\[ y = (\text{cosas con } x) \]
De forma que queda así,
\[ x^2 + \big(\text{cosas con } x\big)^2 + \sin\!\Big(x \cdot \big(\text{cosas con } x\big)\Big) – 1 = 0 \]
Ahora es muy sencillo: empiezo a derivar respecto a \(x\).
¿Vale, pero cuál es la derivada de \((\text{cosas con } x)\)?
\[ y’ = (\text{cosas con } x)’ \]
Es decir,
\[ \text{derivada de (cosas con x)} = \big(\text{cosas con } x\big)’ \]
Qué cabrón. Venga, dale:
- Primer término, \(x²\):
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
- Segundo término, \( (\text{cosas con } x)^2 \):
\(f(x) = u^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u’\)
Por tanto:
\( f'(x) = 2(\text{cosas con } x) \cdot (\text{cosas con } x)’ \)
- Tercer término, \( \sin\!\big(x \cdot (\text{cosas con } x)\big) \):
\(g(x) = \sin(u) \quad \Rightarrow \quad g'(x) = \cos(u) \cdot u’\)
Y como tenemos un producto como argumento del seno, aplicamos su derivada:
\( u(x) = v(x) \cdot w(x) \quad \Rightarrow \quad u'(x) = v'(x)w(x) + v(x)w'(x) \)
En nuestro caso:
\( \frac{d}{dx}\Big(x \cdot (\text{cosas con } x)\Big) = 1 \cdot (\text{cosas con } x) + x \cdot (\text{cosas con } x)’ \)
Por último, ensamblo todo lo calculado:
\( 2x \;+\; 2(\text{cosas con } x)(\text{cosas con } x)’ \;+\; \cos\!\big(x \cdot (\text{cosas con } x)\big)\,\Big( (\text{cosas con } x) + x(\text{cosas con } x)’ \Big) \;=\; 0 \)
Resultado final
\(
\text{Y sustituyo } (\text{cosas con } x) \;\mapsto\; y
\quad\text{ y }\quad
(\text{cosas con } x)’ \;\mapsto\; y’
\):
\[ 2x \;+\; 2y\,y’ \;+\; \cos(xy)\,\big(y + x y’\big) \;=\; 0 \]
Despejamos \(y’\) para que quede más bonito:
\[
y’ = \frac{-(2x + y\cos(xy))}{2y + x\cos(xy)}
\]
Y ya tenemos la derivada implícita.