Cada vez que aparece un nombre nuevo en el Carroll, no puedo evitar informarme un poco sobre la vida del susodicho. Siento respeto de base por cada persona que contribuyó al progreso científico, sobre todo si era físico o matemático, así que acordarme de ellos en este blog anónimo y mal indexado es mi contribución al mundo. No puedo ofrecer mucho más, pero algo es algo.

Respeto de base y luego ya veremos si el menda era un capullo. El mundo científico no está exento de ellos.

Con los políticos, por cierto, ocurre lo contrario: capullo de base y luego ya veremos si merece respeto. Es broma.

En realidad a Leonhard Euler ya le conocía un poco. Es demasiado grande como para no hacerlo: trabajador incansable, se quedó ciego y siguió currando, muy prolífico. Inventó cosas como eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0 además de gran parte de la notación que usamos actualmente.

Otra de sus contribuciones fue esta fórmula, que describe la dinámica de los fluidos perfectos y es la culpable de que ahora estemos hablando de él:

ρ[∂v∂t+(v⋅∇)v]=−∇p\rho\left[\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right] = -\nabla p

Ese bicho es el equivalente a

F=maF = ma

pero para fluidos.

Si la leemos de izquierda a derecha, dice algo así como que la densidad de un fluido por su aceleración es igual a menos el gradiente de la presión.

La parte que más me ha costado entender es lo que hay dentro de los corchetes, es decir, cuál es la diferencia entre la derivada de v\mathbf{v} respecto de tt y el puto nabla ese rodeado de uves.

Cómo lo he terminado entendiendo

Derivada temporal ∂tv\partial_t \mathbf{v}

Observamos un punto del fluido durante un rato y empezamos a ver cómo pasan partículas por ese punto. Cogemos una y comparamos su velocidad con la de la partícula anterior y siguiente que pasaron por ahí. Si la velocidad de todas es la misma, entonces ∂tv=0\partial_t \mathbf{v} = 0 y estamos en régimen estacionario. Si es distinta, entonces ∂tv≠0\partial_t \mathbf{v} \neq 0 y estamos en régimen transitorio.

Término convectivo (v⋅∇)v(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}

Seguimos en el mismo punto de antes y con la misma partícula, pero ahora ampliamos un poquito la zona de observación y hacemos una foto de su velocidad actual en ese instante para compararla con la de sus vecinas. Si no hay variación de velocidad en ninguna de sus componentes entre ella y las vecinas, entonces:

(v⋅∇)v=0(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = 0

Al final es un poco lo de siempre: estudiar incrementos diferenciales en diferentes contextos.

La parte de la notación también me generaba confusión al principio, pero ya lo voy pillando más o menos. Primero se resuelve lo de dentro del paréntesis, que es un producto escalar entre el vector velocidad y el nabla, el cual juega como una especie de operador diferencial espacial a la espera de recibir su víctima. El resultado es lo que opera sobre el vector velocidad de fuera.

v=(vx,vy,vz),∇=(∂x,∂y,∂z)\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z), \qquad \nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z) (v⋅∇)v=(vx∂x+vy∂y+vz∂z)v(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = \left(v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z\right)\mathbf{v}

Como curiosidad, si a la fórmula de Euler le añadimos viscosidad y fuerzas externas obtenemos una ecuación simplificada de Navier-Stokes para fluidos incompresibles:

ρ[∂v∂t+(v⋅∇)v]=−∇p+μ∇2v+f\rho\left[\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right] = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}

Las ecuaciones de Navier-Stokes se usan para describir fenómenos de todo tipo: corrientes oceánicas, aerodinámica de vehículos, modelado en videojuegos, etc. Además, en torno a ellas gira uno de los problemas del milenio aún sin resolver. Hay reservados un millón de dólares para quien lo consiga.

Me encantaría pelearme con él hasta resolverlo, pero mi guerra es otra 😶‍🌫️.